ระบบควบคุมแบบ Feedback และการคำนวณ Stability

ระบบควบคุมแบบ Feedback และการคำนวณ Stability

บทนำ

ในปัจจุบันนี้ระบบควบคุมอัตโนมัติได้ เข้ามามีบทบาทสำคัญต่อการพัฒนาความเจริญก้าวหน้าทางเทคโนโลยีมากมายนัก ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดในชีวิตประจำวันได้แก่ระบบควบคุมในเครื่องปรับอากาศ ซึ่งจะคอยควบคุมอุณหภูมิภายในห้องให้คงที่ ในอุตสาหกรรมได้มีการนำระบบควบคุมอัตโนมัติไปใช้ควบคุมคุณภาพของผลิตภัณฑ์, ควบคุมการทำงานของเครื่องจักร และอื่นๆอีกมากมาย เทคโนโลยีทางด้านอวกาศและการผลิตอาวุธยุทโธปกรณ์ก็ได้มีการนำระบบควบคุมไป ใช้ในระบบนำวิถี, ระบบควบคุมการเผาไหม้ของเชื้อเพลิง เป็นต้น

รูปที่ 1

รูปที่ 1 แสดง ถึงโครงสร้างพื้นฐานของระบบควบคุม โดยผลลัพธ์ที่ออกทางเอาท์พุท (แทนโดยตัวแปร c) จะถูกควบคุมโดยสัณญาณกระตุ้น e ผ่านทางองค์ประกอบต่างๆซึ่งอยู่ภายใน controlled process

ในการควบคุมพวงมาลัยของรถยนต์ สัญญาณกระตุ้น e ได้แก่ ตำแหน่งของพวงมาลัย ส่วนตัวแปรเอาท์พุท c ได้แก่ ทิศทางของล้อหน้า ในส่วนของ controlled process จะ ประกอบด้วยกลไกต่างๆของพวงมาลัย เช่น การทดเฟือง และรวมถึงลักษณะการเคลื่อนที่ของล้อด้วย

ระบบ ควบคุมแบบวงเปิดหรือระบบควบคุมแบบไม่ป้อนกลับ (Open-loop Control Systems, Nonfeedback Control Systems)

ระบบควบคุมพื้นฐานที่กล่าวถึงในหัว ข้อที่แล้วเป็นระบบควบคุมแบบวงเปิด ในระบบควบคุมแบบวงเปิดนี้การควบคุมส่วนใหญ่ต้องอาศัยการคาดคะเนและการตัดสิน ใจของมนุษย์ ตัวอย่างเช่น การควบคุมอุณหภูมิภายในห้องโดยเตาผิง ถ้าเตาผิงที่ใช้มีเพียงอุปกรณ์ตั้งเวลาเปิด-ปิดเท่า นั้น ผู้ใช้หรือผู้ควบคุมจะต้องคาดคะเนและตั้งเวลาในการเปิดเตาผิงที่นานพอเหมาะ เพื่อให้อุณหภูมิห้องอยู่ในระดับที่ต้องการ แต่การควบคุมโดยมนุษย์เช่นนี้ดูจะไม่แม่นยำและน่าเชื่อถือนัก เนื่องจากผู้ควบคุมไม่สามารถรู้ถึงคุณสมบัติเฉพาะในการสร้างความร้อนของเตา ผิงนี้ อีกทั้งยังมีปัจจัยต่างๆจากภายนอก เช่น อุณหภูมิภายนอกห้องที่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิภายในห้อง จะเห็นได้ว่าระบบควบคุมแบบวงเปิดนี้ไม่สามารถปรับตัวตามการเปลี่ยนแปลงของ ระบบอันเนื่องมาจากปัจจัยจากภายนอกได้

เครื่องซักผ้าอัตโนมัติเป็นระบบที่มีการควบคุมแบบวงเปิดเนื่องจาก ผู้ควบคุมที่เป็นมนุษย์จะเป็นผู้กำหนดเวลาที่ใช้ในการซักผ้า ซึ่งจริงๆแล้วเครื่องซักผ้าอัตโนมัติที่แท้จริงควรจะมีระบบตรวจสอบความสะอาด ของผ้าตลอดเวลาที่ซัก เมื่อผ้ามีความสะอาดถึงระดับที่ต้องการแล้วเครื่องซักผ้าก็ควรจะหยุดการทำ งานโดยอัตโนมัติ

รูปที่ 2

แผนผังของระบบควบคุมแบบวงเปิดสามารถ เขียนได้อีกแบบหนึ่งดังรูปที่ 2 โดยสัญญาณอินพุทหรือสัญญาณสั่งการ r ส่งผ่าน controller ออกมาเป็นสัญญาณกระตุ้น e เพื่อสั่งให้ controlled process ขับเอาท์พุท c ที่ ต้องการออกมา

ระบบ ควบคุมแบบวงปิดหรือระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Closed-loop Control Systems, Feedback Control Systems)

จากหัวข้อที่แล้วจะเห็นว่าเมื่อ ปัจจัยภายนอกมามีอิทธิพลต่อระบบจะทำให้ผู้ควบคุมไม่สามารถควบคุมเอาท์พุทให้ เป็นไปตามต้องการได้ ในหัวข้อนี้ได้แก้ไขโดยการส่งสัญญาณเอาท์พุท c(t) ป้อนกลับ มาเปรียบเทียบกับสัญญาณสั่งการหรือสัญญาณอ้างอิง r จะได้ค่าความคลาดเคลื่อนระหว่างสัญญาณเอาท์พุทกับสัญญาณ อ้างอิงทางด้านอินพุทเพื่อนำไปสร้างสัญญาณกระตุ้น e และส่งต่อไปแก้ไขค่าความคลาดเคลื่อน (error) ของเอาท์พุทให้น้อยลง ระบบที่กล่าวมานี้เรียกว่าระบบควบคุมแบบป้อนกลับ กิจกรรมส่วนใหญ่ที่มนุษย์ปฏิบัติในชีวิตประจำวันนั้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ ระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ซับซ้อน เช่น ในการใช้ตะเกียบคีบลูกชิ้นเข้าปาก สมองของมนุษย์จะสั่งการให้แขนข้างที่ถือตะเกียบนำลูกชิ้นเข้าปาก ตำแหน่งของลูกชิ้นที่เป็นเอาท์พุทจะถูกป้อนกลับมายังตาของมนุษย์เพื่อเปรียบ เทียบระยะทางระหว่างลูกชิ้นกับปาก ในที่นี้สัญญาณอ้างอิง r คือตำแหน่งของปาก ส่วนสัญญาณเอาท์พุท c คือตำแหน่งของลูกชิ้น ถ้าระยะทางยังมีค่าความคลาดเคลื่อนอยู่สมองก็จะยังคงสั่งให้แขนเคลื่อนที่ ต่อไปเพื่อให้ลูกชิ้นเข้าใกล้ปากมากยิ่งขึ้น จนกระทั่งค่าความคลาดเคลื่อนเป็นศูนย์ก็จะสั่งให้แขนหยุด รูปที่ 3 แสดงถึงแผนผังของระบบควบคุมแบบป้อนกลับในการใช้ตะเกียบคีบ ลูกชิ้นเข้าปาก

รูปที่ 3

รูปที่ 4

รูปที่ 4 เป็น ระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้ในการหมุนมอเตอร์ไปยังตำแหน่งที่ผู้ควบคุมกำหนด ในระบบนี้จะใช้โพเทนชิโอมิเตอร์ตรวจจับค่าความคลาดเคลื่อนระหว่างตำแหน่งของ มอเตอร์จริงๆที่เป็นเอาท์พุท และตำแหน่งของมอเตอร์ที่กำหนดโดยผู้ควบคุมซึ่งเป็นสัญญาณอินพุทอ้างอิง ค่าความคลาดเคลื่อนจะเปลี่ยนเป็นค่าแรงดันไฟฟ้า e(t) แล้วนำไปขยายแรงดันเพื่อขับมอเตอร์ให้หมุนไปยังทิศทาง ที่ทำให้ตำแหน่งของมอเตอร์มีค่าความคลาดเคลื่อนน้อยลง

รูปที่ 5

เมื่อลองให้สัญญาณอินพุท r(t) เปลี่ยนค่าจากศูนย์ไปเป็น R ใน ทันทีทันใดดังรูปที่ 5(a) ค่าสัญญาณเอาท์พุทจะมีลักษณะดังรูปที่ 5(b)  เนื่องมาจากความเฉื่อยทางกลและทางไฟฟ้าจะทำให้ตำแหน่งของเอาท์พุท ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใด แต่จะค่อยๆวิ่งเข้าสู่ตำแหน่งที่กำหนดโดยอินพุท และอาจจะมีการแกว่งไปมารอบๆตำแหน่งที่กำหนดโดยอินพุท การแกว่งนี้จะค่อยๆลดน้อยถอยลงจนกระทั่งเอาท์พุทอยู่ในตำแหน่งที่กำหนดโดย อินพุทอย่างคงที่คืออยู่ใน steady state

สิ่งที่ต้องระวังในระบบควบคุมแบบป้อนกลับคือความไม่เสถียรของระบบ ถ้าหากสัญญาณ e(t) ถูกขยายมากเกินไปก็อาจจะทำให้เกิดการแก้ไขค่าความคลาด เคลื่อนของเอาท์พุทแบบ "overcorrect" และเอาท์พุทจะแกว่งในลักษณะที่ลู่ออกโดยไม่ มีขอบเขต แต่ถ้าสัญญาณ e(t) ถูกขยายน้อยเกินไปก็จะทำให้ เอาท์พุทมีค่าไม่ตรงกับค่าที่กำหนดโดยอินพุทเมื่อเอาท์พุทเข้าสู่ steady state  ดังนั้นผู้ออกแบบระบบควบคุมแบบป้อนกลับจึง ต้องหาจุดที่เหมาะสมระหว่างปัจจัยสองอย่างคือ ความเที่ยงตรง และความเสถียร ซึ่งปัจจัยทั้งสองนี้แปรผกผันกัน

ส่วน ประกอบพื้นฐานของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

จากหลักการพื้นฐานของระบบควบคุมแบบ ป้อนกลับสามารถกล่าวได้ว่า ระบบควบคุมแบบป้อนกลับประกอบด้วยเส้นทางหรือวงรอบของสัญญาณป้อนกลับซึ่งเป็น สัญญาณเอาท์พุท c ตั้งแต่หนึ่งวงรอบขึ้นไป แล้วนำสัญญาณป้อนกลับนี้มาเปรียบเทียบกับสัญญาณสั่งการหรือสัญญาณอ้างอิง r จะได้ผลต่างระหว่างสัญญาณทั้งสองเป็น e = r - c เพื่อนำไปควบคุมสัญญาณเอาท์พุท c ให้มีค่าตามที่กำหนดโดยสัญญาณอ้างอิง r

รูปที่ 6

รูปที่ 6 แสดง แผนผังของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ ระบบควบคุมนี้ประกอบด้วยส่วน forward (forward path), ส่วนป้อนกลับ (feedback path) และส่วนตรวจจับค่าความคลาดเคลื่อน (error-sensing device) ส่วนตรวจจับค่าความคลาดเคลื่อนนี้ จะเปรียบเทียบค่าสัญญาณอินพุทอ้างอิงกับค่าสัญญาณเอาท์พุทจริงๆหรือค่าที่ เป็นฟังก์ชันของสัญญาณเอาท์พุท แล้วส่งสัญญาณที่เกิดจากผลต่างของสัญญาณทั้งสองนี้ออกไป

ชนิด ของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

ถ้าพิจารณาในแง่วิธีการในการ วิเคราะห์และออกแบบระบบแล้ว ระบบควบคุมแบบป้อนกลับสามารถแบ่งได้เป็นสองชนิด คือ ระบบควบคุมป้อนกลับแบบเชิงเส้น และระบบควบคุมป้อนกลับแบบไม่เป็นเชิงเส้น ในทางปฏิบัติแล้วระบบที่เป็นเชิงเส้นจะไม่มีอยู่จริงเนื่องจากลักษณะทาง กายภาพของระบบทุกระบบจะเป็นเชิงเส้นในขอบเขตหนึ่งเท่านั้น ดังนั้นระบบแบบเชิงเส้นจึงเป็นเพียงระบบที่สมมุติขึ้นมาเพื่อให้ง่ายต่อการ วิเคราะห์และออกแบบเท่านั้น ในระบบควบคุมแบบป้อนกลับจะมีขอบเขตการทำงานที่เป็นเชิงเส้นของระดับสัญญาณ กระตุ้น e ซึ่งสามารถนำมาใช้ในแบบจำลองแบบเชิงเส้นได้ เมื่อระดับสัญญาณกระตุ้น e อยู่นอกขอบเขตที่เป็นเชิงเส้นนี้ระบบควบคุมแบบ ป้อนกลับก็จะเข้าสู่สภาวะที่ไม่เป็นเชิงเส้น

แต่ถ้า พิจารณาในแง่ของลักษณะสัญญาณที่เกิดขึ้นภายในระบบ ก็จะสามารถแบ่งชนิดของระบบควบคุมแบบป้อนกลับได้เป็น ระบบที่มีสัญญาณต่อเนื่อง (continuous-data system) และ ระบบที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่อง (discrete-data system) หรือระบบที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณ (sampled-data system)

ระบบ ควบคุมแบบป้อนกลับชนิดที่มีสัญญาณต่อเนื่อง (Continuous-data Feedback Control System)

ระบบนี้เป็นระบบที่สัญญาณต่างๆภายใน ระบบเป็นสัญญาณที่เป็นฟังก์ชันแบบต่อเนื่องเมื่อตัวแปรของฟังก์ชันเป็นเวลา t  ถ้าสัญญาณแบบต่อเนื่องในระบบนี้อยู่ในลักษณะที่ถูก modulated จะเรียกระบบนี้ว่า ระบบ a-c carrier system แต่ถ้าสัญญาณอยู่ในลักษณะที่เป็น unmodulated ก็จะเป็นระบบ d-c carrier system  รูปที่ 8 เป็นตัวอย่างของระบบ servo ที่เป็น d-c carrier system จะสังเกตเห็นว่าสัญญาณต่างๆในระบบเป็นสัญญาณความถี่ต่ำและอยู่ใน ลักษณะที่ unmodulated  รูปที่ 9 เป็นแผนผังของระบบ servo ที่เป็น a-c carrier system  สัญญาณที่เกิดขึ้นจริงๆในระบบควบคุมนี้จะปรากฏในลักษณะที่เป็น เปลือกที่ห่อหุ้มสัญญาณพาหะอีกชั้นหนึ่ง อุปกรณ์ที่เรียกว่า synchro ทั้งสองตัวทำหน้าที่ เป็น modulator ซึ่งทำหน้าที่ modulate สัญญาณ อินพุทอ้างอิง r และสัญญาณป้อนกลับ c  ส่วนมอเตอร์ ทำหน้าที่เป็น demodulator ซึ่งแปลงสัญญาณให้กลับมาอยู่ในลักษณะ ที่ unmodulated

รูปที่ 8

รูปที่ 9

ในทางปฏิบัติจริงๆจะไม่ใช้ระบบที่ เป็น d-c หรือ a-c เพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง แต่จะรวมส่วนประกอบทั้งสองแบบเข้าด้วยกันโดยใช้ modulator และ demodulator เพื่อ แปลงสัญญาณ ณ จุดต่างๆของระบบ

ระบบ ควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณและระบบควบคุมที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่อง (Sampled-data and Discrete-data Control System)

ระบบควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่างของ สัญญาณและระบบควบคุมแบบสัญญาณดิจิตอลจะมีสัญญาณที่อยู่ในลักษณะของขบวนของ พัลส์หรือรหัสที่เป็นเชิงตัวเลข โดยปกติระบบที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณจะหมายถึงระบบที่มีสัญญาณในลักษณะ ของขบวนของพัลส์ ส่วนระบบควบคุมแบบสัญญาณดิจิตอลจะหมายถึงระบบที่มีคอมพิวเตอร์หรืออุปกรณ์ ตรวจจับสัญญาณแบบดิจิตอลเป็นส่วนประกอบ ในที่นี้ระบบควบคุมที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่องจะมีความหมายครอบคลุมถึงทั้งระบบ แบบสุ่มตัวอย่างของสัญญาณและระบบแบบดิจิตอล

รูปที่ 10

ระบบที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่องจะตรวจ จับสัญญาณเข้ามาในลักษณะของพัลส์โดยแต่ละพัลส์จะใช้เวลาเพียงช่วงสั้นๆเท่า นั้น ดังนั้นระบบจะไม่ได้รับข้อมูลของสัญญาณในช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างพัลส์ที่ อยู่ติดกันเลย รูปที่ 10 แสดงถึงการทำงานของระบบควบคุมที่มีการ สุ่มตัวอย่างของสัญญาณ สัญญาณอินพุท r(t) ที่เป็นสัญญาณแบบต่อเนื่องถูกส่ง เข้าระบบและเปรียบเทียบกับสัญญาณป้อนกลับ c(t) ที่เป็นสัญญาณแบบต่อเนื่องเช่นกัน จะได้สัญญาณค่าความคลาดเคลื่อน e(t) ที่ต่อเนื่อง และส่งต่อไปเพื่อสุ่มตัวอย่างสัญญาณโดยอุปกรณ์สุ่มตัวอย่าง (sampler) ได้สัญญาณที่เป็นขบวนของพัลส์ โดยปกติอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างจะสุ่มตัวอย่างสัญญาณในอัตราที่คงที่ แต่ในบางกรณีการสุ่มตัวอย่างอาจจะอยู่ในลักษณะที่เป็น periodic, cyclic, multirate, skip-rate, random, และ pulse-width modulated

รูปที่ 11

รูปที่ 11 แสดง แผนผังของระบบควบคุมแบบดิจิตอล ในระบบนี้จำเป็นต้องมีตัวแปลงสัญญาณจากอนาล็อกไปเป็นดิจิตอล และตัวแปลงสัญญาณจากดิจิตอลกลับมาเป็นอนาล็อกเนื่องจากคอมพิวเตอร์สามารถ ประมวลผลข้อมูลและส่งผลลัพธ์ออกมาเป็นข้อมูลที่เป็นดิจิตอลเท่านั้น

เอาท์พุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างจะเป็นขบวนของพัลส์โดยที่แอมพลิจู ดของแต่ละพัลส์จะเท่ากับแอมพลิจูดของสัญญาณอินพุทที่ตรงกับช่วงเวลาที่อยู่ ในช่วงความกว้างของพัลส์นั้น แต่การวิเคราะห์ระบบที่สุ่มตัวอย่างสัญญาณโดยมีความกว้างของพัลส์นั้นจะต้อง อาศัยกระบวนการที่ซับซ้อน ดังนั้นถ้าเอาท์พุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างมีความกว้างของพัลส์น้อยมากเมื่อ เทียบกับค่า time constant ของส่วนของระบบ ที่มีสัญญาณต่อเนื่องและเมื่อเทียบกับช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างแต่ละ ครั้ง ก็จะสามารถแทนที่ขบวนของพัลส์ด้วยขบวนของอิมพัลส์ และในการวิเคราะห์ระบบก็จะสามารถแทนที่อุปกรณ์สุ่มตัวอย่างด้วยอุปกรณ์สุ่ม ตัวอย่างในอุดมคติ (ideal sampler) ซึ่งมีเอาท์พุทเป็นขบวนของอิมพัลส์ได้

ถ้าอินพุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างใน อุดมคติเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง e(t) ก็จะได้เอาท์พุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างเป็น e*(t) ดังสมการต่อไปนี้

โดยที่ T เป็น ช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างแต่ละครั้ง

จากสมการจะเห็นว่าอิมพัลส์แต่ละอิมพัลส์จะมีพื้นที่เท่ากับค่าของ ฟังก์ชัน e(t)  ณ ขณะเวลาที่ t = nT ของอิมพัล ส์นั้น

รูปที่ 12

ในระบบควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่าง สัญญาณมักจะมีอุปกรณ์ที่เรียกว่า data hold device ดังแสดงในรูปที่ 10  อุปกรณ์นี้จะสร้างสัญญาณที่ต่อเนื่องขึ้นมาใหม่โดยแปลงกลับจาก สัญญาณที่ถูกสุ่มตัวอย่าง  hold device ที่ใช้โดยทั่วไปจะอยู่ในลักษณะของ zero-order hold ซึ่งมีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุทกับ เอาท์พุทดังแสดงในรูปที่ 12 และสามารถเขียนเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

h(t) = e(nT)    for   nT < t < (n+1)T

โดยที่ T เป็น ช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างแต่ละครั้ง

การ วิเคราะห์โดเมนของเวลาในระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

โดยปกติแล้วการวิเคราะห์การตอบสนอง ของระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่มีต่ออินพุทมักจะวิเคราะห์ในโดเมนของเวลาเพื่อ เปรียบเทียบความใกล้เคียงกันของสัญญาณระหว่างสัญญาณอินพุทอ้างอิงและสัญญาณ เอาท์พุท

ปกติจะแบ่งฟังก์ชันของ time response ออกเป็น 2 ส่วนคือ transient response และ steady-state response ดังสมการต่อไปนี้

c(t) = c_t(t) + c_ss(t)

โดยที่ c(t) คือ time response   c_t(t) คือ transient response และ c_ss(t) คือ steady-state response

steady-state response ก็คือฟังก์ชันของการตอบสนองเมื่อเวลาเข้าสู่ infinity   ดังนั้นเมื่อเวลาเข้าใกล้ infinity จะได้ว่า transient response เข้าใกล้ ศูนย์ ในระบบควบคุมแบบป้อนกลับนั้น transient response มักจะเกิดจากความเฉื่อยหรือความ เสียดทานของระบบ steady-state response จะบอกถึงความเที่ยงตรงในการตอบสนอง ของระบบ ถ้า steady-state response มีค่าไม่ตรงกับอินพุทของระบบจะเรียกว่าระบบนั้นมี steady-state error

สัญญาณ อินพุทที่ใช้วิเคราะห์ transient ใน ระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

ในการวิเคราะห์และออกแบบระบบจำเป็น ต้องมีฟังก์ชันอินพุทในรูปแบบพื้นฐานอย่างน้อย 3 รูปแบบ เพื่อใช้ทดสอบประสิทธิภาพของระบบ โดยในการวิเคราะห์ในโดเมนของเวลามักจะมีฟังก์ชันอินพุทพื้นฐานที่ใช้ทดสอบ 3 รูปแบบดังต่อไปนี้

1. Step Displacement Input

r(t) = R      t > 0
r(t) = 0       t < 0
หรือ   r(t) = Ru(t)

โดยที่ R เป็นค่าคงที่และ u(t) เป็น unit step function

2. Step Velocity Input (Ramp Function)

r(t) = Rt     t > 0
r(t) = 0       t < 0
หรือ   r(t) = Rtu(t)

3. Acceleration Input (Parabolic Function)

r(t) = Rt²    t > 0
r(t) = 0        t < 0
หรือ   r(t) = Rt²u(t)

รูปที่ 13 จะ แสดงรูปกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้ง 3 ดังกล่าว

รูปที่ 13

ลักษณะ ที่ใช้บ่งชี้ประสิทธิภาพของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Time Domain Performance Characteristics of Feedback control Systems)

1. Steady State Performance
ค่านี้จะได้จากการหาค่า steady-state error ของการตอบสนองต่อฟังก์ชันอินพุทพื้น ฐาน 3 แบบ ดังกล่าวมาในหัวข้อที่แล้ว

2. Transient Performance

รูปที่ 14

ค่านี้จะ วิเคราะห์โดยการใส่ unit-step function เป็นอินพุทอ้างอิง และจะได้ผลตอบสนองดังรูปที่ 14   ลักษณะที่สำคัญของผลตอบสนองนี้ได้แก่

o Overshoot

เป็นค่า error ที่มากที่สุดระหว่างอินพุทและเอาท์พุท ค่านี้จะใช้ในการประมาณความเสถียรของระบบ ค่า overshoot จะวัดเป็นสัดส่วนเทียบกับค่าสุดท้าย หรือค่าอินพุทอ้างอิงดังนี้

Percent overshoot = Maximum overshoot / Final desired value x 100

o Time delay

ค่า time delay t_d เป็นช่วงเวลาที่ใช้ในการตอบสนองของ ระบบตั้งแต่เริ่มต้นจนกระทั่งเอาท์พุทมีค่าเป็น 50 % ของค่าอินพุทอ้างอิง

o Rise time

ค่า rise time t_r เป็นช่วงเวลาตั้งแต่เอาท์พุทมีค่าเป็น 10 % จนถึง 90 % ของค่าอิน พุทอ้างอิง

o Setting time

ค่า setting time t_s เป็นช่วงเวลาตั้งแต่เริ่มต้นจนกระทั่ง การแกว่งของเอาท์พุทลดลงอยู่ในขอบเขตที่กำหนด โดยปกติแล้วขอบเขตนี้จะอยู่ในช่วง 5 % ของอินพุทอ้างอิง

นอกจาก นี้ยังมีลักษณะที่สำคัญอื่นๆอีก เช่น damping ratio, damping factor และ undamped natural frequency ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปที่ 14 ได้ แต่จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป

Characteristic Equation ของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

รูปที่ 15 เป็น แผนผังของ transfer function ณ ตำแหน่งต่างๆของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

รูปที่ 15

จากแผนผังจะได้ closed-loop transfer function เป็นดังนี้

M(s)  =  C(s) / R(s) = G(s) / [1 + G(s) H(s)]

characteristic equation ของระบบควบ คุมแบบป้อนกลับจะได้มาจากการทำตัวหารของ closed-loop transfer function ให้เป็นศูนย์ดังนี้

1 + G(s) H(s)  =  0

พิจารณา closed-loop transfer function ดังต่อไปนี้

M(s)  =  C(s) / R(s)  =  [ K (s + z₁) (s + z₂) . . . (s + z_m) ] / [ (s + p₁) (s + p₂) . . . (s + p_n) ]

จะได้ว่า -z₁, -z₂, . . . , -z_m เป็น zero ของ transfer function และ -p₁, -p₂, . . . , -p_n เป็น pole ของ transfer function อีกทั้งยังเป็นรากของ characteristic equation อีกด้วย ถ้า M(s) เป็นผลหารที่ประกอบด้วยเศษและส่วนที่เป็น polynomial จะได้ว่า pole และ zero ของ M(s) ประกอบด้วยจำนวนจริงหรือ คู่ conjugate ของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น และสามารถเขียน closed-loop transfer function ได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

โดยที่เป็น pole ที่เป็นจำนวนจริง และเป็น pole ที่เป็นคู่ conjugate ของจำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาผลตอบสนองของระบบ c(t) จะ ได้ว่า

แทนค่า R(s) และ ค่า M(s) โดยที่ r(t) เป็น unit step function จะได้สมการดังนี้

แล้วแบ่งเศษส่วนย่อยดังนี้

โดยที่ A, B_i, C_j, และ D_j เป็นค่าคงที่ ในที่นี้สมมุติว่าไม่มี pole ตัวใดมีค่าซ้ำกัน จากตารางของ Laplace transform จะได้ c(t) เป็นดังนี้